Onda guiada entre planos conductores paralelos

Onda guiada entre planos conductores paralelos

El análisis de un sistema de transmisión integrado por dos placas paralelas es el más sencillo dentro del grupo de las guías de onda y, además, ofrece una buena visualización introductoria sobre los efectos de propagación dentro de una guía.

Consideremos inicialmente una onda plana que viaja en dirección z y dos placas paralelas perfectamente conductoras orientadas.

Como las dos placas son perpendiculares al campo eléctrico incidente de la onda plana, no afectan en absoluto su distribución, ya que debe cumplirse la condición de frontera de que el campo eléctrico tangencial en las superficies conductoras sea igual a cero. Es decir, el campo eléctrico solo puede ser normal a  las placas, dirección que coincide con el campo eléctrico de la onda plana incidente.

Dicho de otra manera, la onda que se propaga entre las dos placas también es TEM, y la distribución de los campos es igual a la de la onda plana original, como si las placas no existieran. Una porción de la onda plana es "atrapada" en el interior de las placas, y se sigue propagando a lo largo de la dirección z con las mismas características que las de una onda plana. Por lo tanto las dos placas paralelas forman una guía de ondas.

El modo TEM de propagación dentro de las dos placas es el modo fundamental de trasmisión de la guía y existe para toda frecuencia de operación.

Sin embargo, conforme la frecuencia de trabajo se incrementa más y más, dejando fija la separación entra las placas, irán apareciendo otras configuraciones o distribuciones de los campos dentro de la guía, llamadas modos TE y TM. Estos modos tendrán longitudes de onda y constantes de propagación diferentes a las de una onda plana.

El método más sencillo de guiar una onda electromagnética es mediante un par de planos conductores paralelos. Por simplicidad matemática en esta etapa consideraremos que se trata de conductores perfectos      (σ → ∞).

MODO TEM

Existe en esta configuración la posibilidad de ondas transversales como en un medio ilimitado. En el modo TEM las componentes longitudinales de los campos son nulas.

∇²  = 0     y    ∇²  = 0

 De manera que los campos transversales (los únicos en este modo) satisfacen la ecuación de Laplace de la (cuasi) - estática.

Eligiendo un sistema coordenado como el de la figura la ecuación vectorial para el campo eléctrico se desdobla en dos ecuaciones escalares:

∇²  = 0     y     ∇²  = 0

Las soluciones de estas ecuaciones de Laplace escalares deben satisfacer el teorema de Earnshaw, de manera que no deben presentar extremos entre los planos.

En particular,  es tangente a los planos conductores y se debe anular sobre ellos (conservación de la componente tangencial del campo).

Por lo tanto debe ser nulo para todo y, pues de lo contrario presentaría al menos un extremo dentro del recinto de integración. es normal a los planos, de modo que no se anula, y además coincide con el campo E cuasi - estático entre dos conductores paralelos infinitos es uniforme y perpendicular a los planos, de manera que podemos escribir:

TEM E (r, t) = xˆ

El mismo razonamiento se aplica a la componente , que es normal a los planos y debe anularse sobre ellos por la conservación de la componente normal de B.

La componente no nula del campo magnético se puede calcular a partir del campo eléctrico por la ley de Faraday.

Que coincide con la ecuación de una onda plana transversal en un medio ilimitado.

El campo eléctrico no es conservativo, porque su rotor no es nulo.

Por ejemplo, la circulación a lo largo del circuito C1 de la figura no es cero porque hay un flujo magnético concatenado dependiente del tiempo.

Sin embargo, la circulación sobre C2 es cero, así como sobre cualquier circuito sobre planos de z constante. Podemos definir entonces un voltaje1 entre los electrodos circulando a z constante, un voltaje entre electrodos dependiente de z (y del tiempo):

v (z, t) =  . dl =  (z, t) d

c

 

 Donde C es una curva de z constante que va de un plano al otro.

Además las condiciones de borde para el campo tangencial magnético sobre los planos conductores perfectos llevan a que exista una densidad de corriente superficial  =  zˆ, de manera que habrá una "corriente"2 a lo largo de los electrodos i (z, t) =  w =  w en la dirección z.

Podemos entonces escribir los campos en función de v (z, t) e i (z, t):

Donde L y C son la inductancia y capacidad por unidad de longitud (en la dirección (z) del sistema, que pueden calcularse mediante sus definiciones (cuasi) - estáticas.

Estas son las ecuaciones del telegrafista y constituyen un modelo de parámetros distribuidos asociado al modelo de campos previamente analizado. Ambos modelos describen en forma equivalente el comportamiento electromagnético de la guía de planos paralelos en el modo TEM.

La velocidad de propagación de las ondas de tensión y corriente es:

v = 1/  = 1/

Que coincide con la velocidad de los campos en el medio de propagación.

Podemos así relacionar la descripción a partir de los campos y la descripción de constantes distribuidas a partir de tensiones y corrientes mediante las ecuaciones:

·         V (z, t) = v . dl

C1→2

 

 (Integral sobre una curva C de z = cte. entre ambos conductores)

·         I (z, t) = l . ñ dS

S

(Flujo a través de una superficie S de z = cte. cuyo contorno encierra a sólo uno de los dos conductores)

Con esta representación las ecuaciones de Maxwell llevan naturalmente a las ecuaciones del telegrafista para el modelo circuital de constantes distribuidas.